판별식과 이차부등식의 해
D = 0 이면 중근을 갖습니다.
D < 0 이면 실근을 갖지 않습니다. 이차부등식은 이차방정식의 해를 이용하여 해를 구할 수 있습니다. 이차부등식의 해는 이차방정식의 근을 기준으로 구분됩니다. D > 0 인 경우, 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 이때 이차부등식의 해는 두 근 사이의 구간 또는 두 근을 포함하지 않는 구간이 됩니다.
D = 0 인 경우, 이차방정식은 중근을 갖습니다. 이때 이차부등식의 해는 중근을 포함하는 구간이 됩니다.
D < 0 인 경우, 이차방정식은 실근을 갖지 않습니다. 이때 이차부등식의 해는 모든 실수가 됩니다. 예를 들어, 이차부등식 x² - 4x + 3 < 0 의 해를 구해봅시다. 먼저, 이차방정식 x² - 4x + 3 = 0 의 근을 구해보면, x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 = 2 ± 1 따라서 이차방정식의 근은 x = 1, x = 3 입니다. 이제 이차부등식 x² - 4x + 3 < 0 의 해를 구해보면, * x < 1 또는 x > 3 이 됩니다.
즉, 이차부등식 x² – 4x + 3 < 0 의 해는 x < 1 또는 x > 3 인 모든 실수입니다.
이와 같이 이차부등식의 해를 구하는 데 판별식 D의 값은 매우 중요한 역할을 합니다. 판별식의 값을 이용하여 이차부등식의 해를 쉽고 정확하게 구할 수 있습니다.
[수학(상)] – 5. 이차부등식의 판별식과 허근
이차 방정식 x² + 2ax + a²을 완전제곱식으로 만들려면, 일차항의 계수 2a를 반으로 나눈 a를 제곱한 값이 상수항이 되어야 합니다.
x² + 2ax + a² 에서 a² 가 상수항이기 때문에 완전제곱식이 되는 것입니다. 이를 통해 (x + a)² 와 같은 완전제곱식으로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, x² + 6x + 9 의 경우 일차항의 계수 6 을 반으로 나눈 3 을 제곱하면 9 이 되므로, 상수항이 완전제곱식을 만드는 조건을 만족합니다. 따라서 x² + 6x + 9 는 (x + 3)² 로 나타낼 수 있습니다.
이와 같이, 이차 방정식을 완전제곱식으로 만들면 근을 구하는 과정을 간단하게 할 수 있습니다. 특히 판별식이 0보다 작은 경우, 즉 이차 방정식이 허근을 갖는 경우에 유용하게 활용됩니다.
허근은 실수 범위 내에서 근을 찾을 수 없는 경우를 말하며, i (imaginary unit, 허수 단위) 를 이용하여 나타냅니다. i² = -1 로 정의되며, 이를 이용하여 허근을 표현할 수 있습니다.
예를 들어, x² + 2x + 5 = 0 의 경우, 판별식을 계산하면 D = 2² – 4 * 1 * 5 = -16 으로 음수가 되므로 허근을 갖습니다. 이때, 허근은 x = -1 ± 2i 로 표현됩니다.
즉, 이차 방정식을 완전제곱식으로 만들면 허근을 포함한 모든 근을 쉽게 구할 수 있습니다. 이를 통해 이차 방정식의 근의 성질을 더욱 잘 이해하고 다양한 문제에 적용할 수 있습니다.
판별식 내용을 그냥 외우지 말고, 이해를 먼저 하고 …
판별식을 단순히 외우는 것만으로는 문제를 해결하는 데 한계가 있을 수 있어요. 판별식의 의미를 이해해야 문제를 풀 때 훨씬 유용하게 활용할 수 있답니다.
판별식은 이차 방정식의 근의 공식에서 유도된 식으로, 이차 방정식의 근의 개수를 판별하는 데 사용됩니다. D > 0 이면 서로 다른 두 실근을 가지고, D = 0 이면 중근을 가지며, D < 0 이면 실근을 가지지 않습니다. 판별식을 이용하여 이차 부등식의 해를 구하는 방법을 알아볼까요? 이차 부등식 ax² + bx + c > 0 (또는 ax² + bx + c < 0) 의 해를 구할 때, 먼저 판별식 D = b² - 4ac 를 계산합니다. 만약 D > 0 이면 이차 부등식은 두 실근을 가지고, 두 근 사이의 구간에서 부등식의 부호가 바뀌게 됩니다. D = 0 이면 이차 부등식은 중근을 가지고, 이 중근에서 부등식의 부호가 바뀌게 됩니다. D < 0 이면 이차 부등식은 실근을 가지지 않고, 모든 실수에 대해 부호가 일정하게 유지됩니다. 예를 들어, 이차 부등식 x² - 4x + 3 > 0 의 해를 구해 봅시다. 이때 a = 1, b = -4, c = 3 이므로 판별식 D = (-4)² – 4 * 1 * 3 = 4 > 0 입니다. 따라서 이차 부등식은 두 실근을 가지고, 두 근 사이의 구간에서 부등식의 부호가 바뀌게 됩니다. 이차 방정식 x² – 4x + 3 = 0 을 풀면 x = 1, x = 3 이므로, 이차 부등식 x² – 4x + 3 > 0 의 해는 x < 1 또는 x > 3 입니다.
판별식을 이용하면 이차 부등식의 해를 쉽게 구할 수 있고, 이차 방정식의 근의 개수를 판별할 수 있습니다. 판별식을 단순히 외우기보다는, 그 의미를 이해하고 다양한 문제에 적용해 보는 것이 중요합니다.
이차부등식이 항상 성립할 조건
최고차항의 계수는 이차부등식의 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지를 결정합니다. 최고차항의 계수가 양수이면 그래프가 위로 볼록하고, 음수이면 그래프가 아래로 볼록합니다. 이차부등식이 항상 성립하려면 그래프가 x축과 만나지 않아야 합니다. 즉, 최고차항의 계수의 부호에 따라 그래프가 위로 볼록할 때는 항상 음수, 아래로 볼록할 때는 항상 양수여야 합니다.
판별식 D는 이차방정식의 근의 개수를 판별하는 데 사용됩니다. 판별식 D가 0보다 크면 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지고, 판별식 D가 0이면 이차방정식은 중근을 가지고, 판별식 D가 0보다 작으면 이차방정식은 실근을 가지지 않습니다. 이차부등식이 항상 성립하려면 그래프가 x축과 만나지 않아야 하므로 판별식 D가 0보다 작아야 합니다.
예를 들어, 이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$가 항상 성립하려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
최고차항의 계수 $a$가 양수이면 $D = b^2 – 4ac < 0$ 최고차항의 계수 $a$가 음수이면 $D = b^2 - 4ac > 0$
판별식 D가 0보다 작으면 이차방정식은 실근을 가지지 않고, 이차부등식은 항상 성립합니다. 따라서 판별식 D가 0보다 작은 조건을 만족하는 $a$, $b$, $c$의 값을 찾아야 합니다.
[고등수학(상)] 이차부등식이 항상 성립할 조건 (개념+수학문제)
이차부등식이 항상 성립하는 조건을 찾는 것은 고등수학에서 중요한 개념입니다. 이차부등식을 이차함수로 생각하면 판별식을 이용하여 항상 성립하는 조건을 쉽게 찾을 수 있습니다. 이차함수와 판별식의 관계를 이해하면 이차부등식 문제를 풀 때 유용하게 활용할 수 있습니다.
이차함수는 그래프가 포물선인 함수이며, 판별식은 이차방정식의 근의 개수를 판별하는 식입니다. 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 판별식 $D$는 $D = b^2 – 4ac$로 나타내며, 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$D > 0$: 두 실근을 가짐
$D = 0$: 중근을 가짐
$D < 0$: 실근을 가지지 않음(즉, 허근을 가짐)
이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$ ($a>0$)가 항상 성립하기 위해서는 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프가 $x$축과 만나지 않아야 합니다. 즉, 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$이 실근을 가지지 않아야 합니다. 따라서 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다.
예시:
이차부등식 $x^2 + 2x + 3 > 0$이 항상 성립하는 조건을 찾아봅시다.
이차방정식 $x^2 + 2x + 3 = 0$의 판별식 $D$는 $D = 2^2 – 4 \times 1 \times 3 = -8$입니다. $D < 0$이므로 이차부등식 $x^2 + 2x + 3 > 0$은 항상 성립합니다.
마찬가지로 이차부등식 $ax^2 + bx + c < 0$ ($a>0$)가 항상 성립하기 위해서는 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 그래프가 $x$축 아래에 있어야 합니다. 즉, 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$이 실근을 가지지 않아야 합니다. 따라서 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다. 이차부등식이 항상 성립하는 조건을 찾는 것은 이차함수와 판별식의 관계를 이해하면 쉽게 해결할 수 있습니다. 판별식을 이용하여 이차부등식 문제를 풀어보면 이차부등식의 개념을 더욱 잘 이해할 수 있습니다.
판별식조건을 왜 이렇게 구해야 하나요? 해설지를 봐서 …
판별식 조건을 완전제곱식 꼴로 구하는 것은 아니고, D/4 > 0인 부등식을 풀어서 m의 범위를 구하는 거예요.
판별식 D/4 > 0은 이차방정식의 근이 실근을 갖는 조건을 나타내요. 실근을 갖는다는 것은 x축과 두 점에서 만난다는 뜻이죠.
완전제곱식은 이차방정식을 풀 때 근의 공식을 이용하기 쉽게 만들어주는 표현 방법이에요. 완전제곱식은 (ax + b)² 혹은 (ax – b)²와 같은 형태로 표현되는데, 이는 항상 실근을 갖는다는 특징이 있어요.
그러니까, 이차방정식을 완전제곱식으로 표현할 수 있다면, 그 방정식은 항상 실근을 갖는다는 것을 알 수 있고, 이는 판별식 D/4 > 0을 만족한다는 뜻이 되는 거예요.
하지만, 모든 이차방정식을 완전제곱식으로 표현할 수 있는 것은 아니에요. 따라서, 이차방정식을 완전제곱식으로 만들 수 없는 경우에는 판별식 D/4 > 0을 직접 계산하여 실근 조건을 확인해야 합니다.
예를 들어
x² + 2x + 1 = 0 이라는 이차방정식은 (x + 1)² = 0으로 완전제곱식으로 표현할 수 있어요. 이 경우 판별식 D/4 = 1 – 1 = 0 이므로, 이 이차방정식은 실근을 갖는다는 것을 알 수 있어요.
반면, x² + 2x + 2 = 0 이라는 이차방정식은 완전제곱식으로 표현할 수 없어요. 이 경우 판별식 D/4 = 1 – 2 = -1 이므로, 이 이차방정식은 실근을 갖지 않는다는 것을 알 수 있어요.
결론적으로 판별식 D/4 > 0은 이차방정식이 실근을 갖는 조건을 나타내고, 이는 완전제곱식으로 표현할 수 있는 이차방정식의 특징과 밀접한 관련이 있어요.

부등식 판별식: 쉽고 빠르게 풀어보는 꿀팁
수학 문제 풀다 보면 2차 부등식을 만나서 막막했던 경험, 다들 있으시죠? 2차 부등식은 풀이 과정이 복잡하고, 해를 구하는 데 어려움을 겪는 경우가 많아요. 하지만 부등식 판별식을 이용하면 이런 어려움을 쉽게 해결할 수 있습니다!
부등식 판별식은 2차 부등식의 해의 개수와 그 부호를 판별하는 강력한 도구입니다. 이를 통해 2차 부등식의 해를 직접 구하지 않고도 그 해가 존재하는지, 존재한다면 그 개수와 부호를 알 수 있죠.
부등식 판별식의 핵심은 판별식 D를 이용하는 것입니다. 판별식 D는 다음과 같이 계산됩니다.
D = b² – 4ac
여기서 a, b, c는 2차 부등식 ax² + bx + c > 0 (또는 ax² + bx + c < 0)의 계수입니다.
판별식 D의 값에 따라 2차 부등식의 해의 개수와 부호가 달라집니다.
D > 0: 2차 부등식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다.
D = 0: 2차 부등식은 중근을 갖습니다.
D < 0: 2차 부등식은 실근을 갖지 않습니다.
부등식 판별식을 사용하여 2차 부등식의 해를 판별하는 방법을 예시를 통해 알아보겠습니다.
예시 1: x² - 4x + 3 > 0 의 해를 판별해 보세요.
먼저, 판별식 D를 계산합니다.
D = (-4)² – 4 * 1 * 3 = 4
D > 0 이므로, 이 2차 부등식은 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 즉, 이 부등식의 해는 두 개의 구간으로 나뉘어지고, 그 구간 중 하나가 부등식을 만족시키는 해가 됩니다.
예시 2: x² + 2x + 1 < 0 의 해를 판별해 보세요.
판별식 D를 계산하면,
D = 2² - 4 * 1 * 1 = 0
D = 0 이므로, 이 2차 부등식은 중근을 갖습니다. 즉, 이 부등식은 x = -1 에서만 등호가 성립하고, 다른 모든 x 값에 대해서는 부등식을 만족시키지 못합니다.
예시 3: x² + x + 1 < 0 의 해를 판별해 보세요.
판별식 D를 계산하면,
D = 1² - 4 * 1 * 1 = -3
D < 0 이므로, 이 2차 부등식은 실근을 갖지 않습니다. 즉, 이 부등식은 모든 실수 x에 대해 성립하지 않습니다.
부등식 판별식을 사용하면 2차 부등식의 해를 직접 구하지 않고도 그 해가 존재하는지, 존재한다면 그 개수와 부호를 알 수 있습니다.
이렇게 판별식 D를 이용하여 2차 부등식의 해를 판별하는 방법은 다음과 같은 장점을 가지고 있습니다.
빠른 해 판별: 판별식을 계산하는 것은 복잡한 2차 방정식을 풀거나 근의 공식을 적용하는 것보다 훨씬 간단합니다.
해의 존재 여부 확인: 판별식을 통해 2차 부등식이 실근을 갖는지 여부를 빠르게 확인할 수 있습니다.
해의 개수와 부호 파악: 판별식을 통해 2차 부등식의 해의 개수와 부호를 쉽게 파악할 수 있습니다.
부등식 판별식은 2차 부등식을 푸는 데 매우 유용한 도구입니다. 2차 부등식을 풀 때, 먼저 부등식 판별식을 사용하여 해의 존재 여부와 개수를 확인하는 것이 좋습니다.
2차 부등식의 해를 구하는 다른 방법
부등식 판별식 외에도 2차 부등식의 해를 구하는 다른 방법들이 있습니다.
인수분해: 2차 부등식을 인수분해할 수 있다면, 인수분해를 통해 해를 구할 수 있습니다. 예를 들어, x² - 4x + 3 > 0 는 (x – 1)(x – 3) > 0 으로 인수분해되므로, 해는 x < 1 또는 x > 3 입니다.
근의 공식: 2차 부등식을 인수분해할 수 없는 경우, 근의 공식을 사용하여 해를 구할 수 있습니다. 근의 공식은 다음과 같습니다.
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
여기서 a, b, c는 2차 부등식 ax² + bx + c > 0 (또는 ax² + bx + c < 0)의 계수입니다. 그래프: 2차 부등식을 그래프로 나타내면, 그래프와 x 축의 교점이 2차 부등식의 해가 됩니다. 2차 부등식을 푸는 가장 효과적인 방법은 문제의 특성에 따라 적절한 방법을 선택하는 것입니다. 부등식 판별식: 자주 묻는 질문 Q1. 부등식 판별식을 사용할 수 없는 경우는 언제인가요? 부등식 판별식은 2차 부등식에만 적용할 수 있습니다. 즉, 최고차항의 차수가 2인 부등식에만 사용 가능합니다. Q2. 부등식 판별식을 사용하여 해의 개수를 알았다면, 해를 직접 구할 필요가 없나요? 부등식 판별식을 사용하여 해의 개수와 부호를 알 수 있지만, 해를 직접 구하려면 인수분해, 근의 공식, 또는 그래프를 이용해야 합니다. Q3. 부등식 판별식을 이용하면 해가 존재하지 않는 경우도 알 수 있나요? 네, 부등식 판별식 D가 0보다 작으면 해가 존재하지 않습니다. 즉, 부등식이 모든 실수 x에 대해 성립하지 않는 것을 의미합니다. Q4. 부등식 판별식은 2차 방정식에도 적용할 수 있나요? 네, 부등식 판별식은 2차 방정식에도 적용할 수 있습니다. 2차 방정식의 판별식 D가 0보다 크면 서로 다른 두 실근을 갖고, 0과 같으면 중근을 갖고, 0보다 작으면 실근을 갖지 않습니다. Q5. 부등식 판별식은 어떤 수학 분야에서 사용되나요? 부등식 판별식은 미적분, 선형대수, 기하학 등 다양한 수학 분야에서 사용됩니다. 특히, 2차 함수, 2차 방정식, 2차 부등식을 다루는 문제에서 매우 유용하게 활용됩니다.
Categories: 최고 79 부등식 판별식
(개념설명) 이차부등식과 판별식에관해서! 이것만 보면 끝!!
See more here: hocxenang.com
See more: blog https://hocxenang.com/category/xe-nang-hang